فهوم الكميات المتجهة
تحليل المتجهات
الضرب القياسي للمتجهات
الضرب العرضي للمتجهات
نظام الإحداثيات
ماهو مفهوم الكميات المتجهة؟



المتجه في الفيزياء، هو كمية لها مقدار واتجاه، ويتم تمثيله عادةً بواسطة سهم يكون اتجاهه هو نفس اتجاه الكمية ويكون طوله متناسبًا مع حجم الكمية، وعلى الرغم من أن المتجه له مقدار واتجاه، إلا أنه ليس له موضع، أي أنه طالما لم يتغير طوله، فلا يتم تغيير المتجه إذا تم إزاحته بالتوازي مع نفسه.



على عكس المتجهات تسمى الكميات العادية التي لها حجم ولكن ليس اتجاهًا كميات قياسية، وعلى سبيل المثال الإزاحة والسرعة والتسارع هي كميات متجهة، في حين أن السرعة (مقدار السرعة) والوقت والكتلة هي كميات قياسية.



للتأهل كمتجه، يجب أن تمتثل الكمية التي لها حجم واتجاه أيضًا لقواعد معينة للجمع، واحدة من هذه هي إضافة ناقلات، مكتوبة بشكل رمزي كـ A + B = C (يتم كتابة المتجهات بشكل تقليدي كأحرف غامقة)، وهندسيًا يمكن تصور مجموع المتجه عن طريق وضع ذيل المتجه B على رأس المتجه A ورسم المتجه C بدءًا من ذيل A وينتهي عند رأس B – بحيث يكمل المثلث.



إذا كانت A و B و C متجهات، فيجب أن يكون من الممكن إجراء نفس العملية وتحقيق نفس النتيجة (C) بترتيب عكسي، B + A = C، وتمتلك الكميات مثل الإزاحة والسرعة هذه الخاصية (قانون التبادل)، ولكن هناك كميات (على سبيل المثال، دوران محدود في الفضاء) لا تكون متجهة، وبالتالي فهي ليست نواقل.



القواعد الأخرى لمعالجة المتجهات هي الطرح والضرب بواسطة العددي والضرب القياسي (المعروف أيضًا باسم المنتج النقطي أو المنتج الداخلي) وضرب المتجه (المعروف أيضًا باسم الضرب المتقاطع) والتفاضل، لا توجد عملية تقابل القسمة على متجه.



تحليل المتجهات:



هو فرع من الرياضيات يتعامل مع الكميات ذات الحجم والاتجاه، ويمكن تحديد بعض الكميات الفيزيائية والهندسية، المسماة بالكميات، بشكل كامل من خلال تحديد حجمها في وحدات قياس مناسبة، وهكذا يمكن التعبير عن الكتلة بالجرام، ودرجة الحرارة بالدرجات على مقياس ما، والوقت بالثواني.



يمكن تمثيل المقاييس بيانياً بنقاط على بعض المقاييس الرقمية مثل الساعة أو مقياس الحرارة، وهناك أيضًا كميات، تسمى المتجهات تتطلب تحديد الاتجاه بالإضافة إلى الحجم، تعد السرعة والقوة والإزاحة أمثلة على المتجهات، ويمكن تمثيل كمية المتجه بيانياً بواسطة مقطع خط موجه، ويُرمز إليه بسهم يشير في اتجاه كمية المتجه، ويمثل طول المقطع حجم المتجه.



النموذج الأولي للمتجه هو جزء من الخط الموجه AB والذي يمكن اعتباره يمثل إزاحة الجسيم من موضعه الأولي A إلى موضع جديد B، ويعبر عنه بأحرف غامقة، وبالتالي يمكن الإشارة إلى المتجه AB بـ a وطوله (أو حجمه) بواسطة|a| في العديد من المسائل، يكون موقع النقطة الأولية للمتجه غير مادي، لذلك يُعتبر المتجهان متساويين إذا كان لهما نفس الطول والاتجاه.



يُشار إلى المساواة بين المتجهين أ و ب بواسطة التدوين الرمزي المعتاد أ = ب، وتقترح الهندسة التعريفات المفيدة للعمليات الجبرية الأولية على المتجهات، وبالتالي إذا كان AB = a يمثل إزاحة لجسيم من A إلى B، وبالتالي يتم نقل الجسيم إلى الموضع C، بحيث يكون BC = b، فمن الواضح أن الإزاحة من A إلى C يمكن تحقيقها بواسطة إزاحة واحدة AC = c. وبالتالي، فمن المنطقي أن تكتب a+b=c.



هذا البناء لمجموع، c ، لـ a و b ينتج نفس النتيجة مثل قانون متوازي الأضلاع، حيث يتم إعطاء الناتج c بواسطة القطر AC لمتوازي الأضلاع المبني على المتجهين AB و AD كأضلاع، ونظرًا لأن موقع النقطة الأولية B للمتجه BC = b غير مادي، فإنه يتبع ذلك BC = AD و أن AD + DC = AC، بحيث يكون القانون التبادلي.



الضرب القياسي للمتجهات:



حاصل الضرب القياسي أو النقطي للمتجهين a و b، المكتوب a · b، هو رقم حقيقي | a |*| b *| كوساين (أ ، ب)، حيث (أ ، ب) تشير إلى الزاوية بين اتجاهات أ و ب .



إذا كان a و b في زاويتين قائمتين، فإن a · b = 0 ، وإذا لم يكن a و b متجهًا صفريًا، فإن تلاشي حاصل الضرب النقطي يوضح أن المتجهات متعامدة، وإذا كانت a = b فإن cos (a، b) = 1 و a · a = | a | 2 يعطي مربع طول a، والقوانين الترابطية والتبادلية والتوزيعية للجبر الأولي صالحة لمضاعفة النقاط للمتجهات.



الضرب العرضي للمتجهات:



حاصل الضرب العرضي أو المتجه للمتجهين a و b، المكتوبين a × b ، هو المتجة n×|a|b|sin(a.b)، حيث n هو متجه طول الوحدة عموديًا على مستوى a و b ويتم توجيهه بحيث يتقدم المسمار الأيمن المدور من a نحو b في اتجاه n، وإذا كان a و b متوازيان، فإن a × b = 0، و يمكن تمثيل حجم a × b بمساحة متوازي الأضلاع التي بها a و b كضلع متجاور أيضًا، نظرًا لأن الدوران من b إلى a عكس ذلك من a إلىb.



نظام الإحداثيات:



نظرًا لأن القوانين التجريبية للفيزياء لا تعتمد على اختيارات خاصة أو عرضية للأطر المرجعية المختارة لتمثيل العلاقات المادية والتكوينات الهندسية، فإن تحليل المتجهات يشكل أداة مثالية لدراسة الكون المادي، ويؤدي إدخال إطار مرجعي خاص أو نظام إحداثيات إلى إنشاء مراسلات بين المتجهات ومجموعات من الأرقام التي تمثل مكونات المتجهات في هذا الإطار، كما أنه يستحث قواعد تشغيل محددة على مجموعات الأرقام هذه التي تتبع قواعد العمليات على الخط شرائح.



إذا تم تحديد مجموعة معينة من ثلاثة متجهات غير خطية (نواقل أساسية تسمى)، فيمكن التعبير عن أي متجه A بشكل فريد كقطر متوازي السطوح الذي تكون حوافه مكونات A في اتجاهات المتجهات الأساسية، وفي الاستخدام الشائع، هناك مجموعة من ثلاثة نواقل وحدة متعامدة متبادلة (أي متجهات طولها 1)، موجهة على طول محاور الإطار المرجعي الديكارتي المألوف.



إذا تم تمثيل المتجهات بمصفوفات 1 × 3 (أو 3 × 1) تتكون من مكونات (x1 ، x2 ، x3) من المتجهات، فمن الممكن إعادة صياغة الصيغ في لغة المصفوفات، وتشير إعادة الصياغة هذه إلى تعميم مفهوم المتجه على فضاءات ذات أبعاد أعلى من ثلاثة، وعلى سبيل المثال، تعتمد حالة الغاز بشكل عام على الضغط p والحجم v ودرجة الحرارة T والوقت t، ولا يمكن تمثيل رباعي الأرقام (p ، v ، T ، t) بنقطة في إطار مرجعي ثلاثي الأبعاد، ولكن نظرًا لأن التصور الهندسي لا يلعب أي دور في الحسابات الجبرية، فلا يزال من الممكن استخدام اللغة التصويرية للهندسة من خلال تقديم إطار مرجعي رباعي الأبعاد تحدده مجموعة المتجهات الأساسية a1 ، a2 ، a3 ، a4 مع المكونات التي تحددها صفوف مصفوفة.



تظل قواعد التمييز بين منتجات الدوال العددية صالحة لمشتقات النقطة والمنتجات المتقاطعة لوظائف المتجهات، وتسمح التعريفات المناسبة لتكاملات وظائف المتجهات ببناء حساب التفاضل والتكامل للمتجهات، والذي أصبح أداة تحليلية أساسية في العلوم الفيزيائية والتقنية.