نظرية لامي:
نص واشتقاق نظرية لامي:
مسائل نظرية لامي:
نظرية لامي:



ترتبط نظرية لامي بمقادير القوى المتساوية والمتزامنة وغير الخطية التي تحافظ على الجسم في حالة توازن ثابت، إذ أن النظرية مفيدة للغاية في تحليل معظم الأنظمة الميكانيكية والهيكلية.



نص واشتقاق نظرية لامي:



تنص نظرية لامي على أنه “عندما تعمل ثلاث قوى في نقطة ما في حالة توازن، فإن كل قوة تكون متناسبة مع جيب الزاوية بين القوتين الأخريين”، نضع في الاعتبار أن ثلاث قوى أ، ب، ج تعمل على جسيم أو جسم صلب تصنع الزوايا ? و ? مع بعضها البعض.



في الصيغة الرياضية أو المعادلة يتم التعبير عنها على أنها: sin?/A?=sin?/B?=sin?/C?



ولتوضيح كيفية اشتقاق نظرية لامي، يتم اشتقاق معادلة النظرية، بافتراض FA و FB و FC هم القوى التي تعمل في نقطة ما، ووفقًا لبيان النظرية نأخذ مجموع كل القوى المؤثرة في نقطة معينة والتي ستكون صفرًا، أي (FA + FB + FC = 0)، بحيث أن الزوايا التي تصنعها متجهات القوة عند رسم المثلث تكتب بدلالة الزوايا التكميلية ونستخدم قانون المثلث لجمع المتجهات.



بعد ذلك من خلال تطبيق قاعدة شرط الجيب نحصل على:

(sin(180??)/A?=sin(180??)/B?=sin(180??)/C?)



ومن ثم فمن الواضح أنه من خلال تطبيق قاعدة الجيب على الزوايا التكميلية نصل إلى النتيجة المطلوبة لنظرية لامي، حيث أن نظرية لامي مفيدة لتحديد حجم القوى المجهولة للنظام المحدد.



مسائل نظرية لامي:



مثال 1: خذ في الاعتبار أن لوحة إعلانات معلقة بمساعدة خيطين يصنعان زاوية متساوية مع السقف، نحسب الشد في كلا الخيطين في هذه الحالة.


الحل: يساعدنا مخطط الجسم الحر لنفسه على حل القوى أولاً، وبعد حل القوى سنقوم بتطبيق النظرية المطلوبة للحصول على قيمة التوتر في كلا الخيطين، بحيث هنا يكون وزن اللافتة في اتجاه هبوطي، والقوة الأخرى هي التوتر الناتج عن اللافتة في كلا الخيطين، وفي هذه الحالة سيكون الشد T في كلا الخيطين هو نفسه الزاوية التي صنعتاها مع لوحة الإشارة.



بتطبيق نظرية لامي التي نحصل عليها:


(sin(180??)/T?=sin(180??)/T?=sin(2?)/mg?)


بما أن sin (180 – ?) = sin ? و sin (2?) = 2sin? cos?، إذن نحصل على قوة الشد النهائية في السلسلة T مثل:


(sin?/T?=2sin?cos?/mg??)، (T = mg / 2cos?)


يمكن تطبيق نفس المفهوم والمعادلات على صبي يلعب على أرجوحة، ونصل إلى نفس النتيجة.



مثال 2: لنفترض أن 45 درجة هي الزاوية التي تصنعها الأوتار ذات اللافتة التي كتلتها 6 كجم، نحسب قيمة الشد T في كلا الخيطين:


الحل: المعطيات ك= 6 كجم، ع = 9.8 م / ث²، ?? = 45 درجة، باستخدام الصيغة المشتقة من المثال 1 نحصل على:(T = mg / 2cos?)، أي (T = 6 × 9.8 / 2cos45) = 41.6 شمالاً.


لذا فإن التوتر في كلا الخيطين لتثبيت اللوحة في وضع أفقي تمامًا هو 41.6 N.


عند مناقشة البديل الصحيح لتطبيق نظرية لامي في الحالات التالية: أ) تنطبق نظرية لامي فقط على الأجسام ذات الشكل المنتظم في حالة اتزان، ب) النظرية مشتقة على أساس قاعدة جيب التمام في حساب المثلثات، ج) النظرية مفيدة جدًا في تحديد القوى المجهولة التي تعمل في نقطة ما لجسم ما في حالة توازن، د) النظرية مفيدة في تحديد القوى المؤثرة على جسم متحرك.



يذكر الخيار (أ) الأجسام ذات الشكل المنتظم في حالة توازن، وهذا ليس صحيحًا، حيث في حالة إعطاء كتلة أجسام غير منتظمة الشكل، يمكن حساب القيم المفقودة لقوى التوتر، أما الخيار (ب) فيذكر قاعدة جيب التمام، وهي ليست جملة صحيحة، إذ يتم اشتقاق النظرية على أساس قاعدة الجيب في المثلث الذي يربط بين الزوايا والأضلاع المتقابلة لتلك الزوايا في مثلث معين، ونظرًا لأن النظرية تدور حول التوازن الثابت للأجسام، فإننا لا نطبقها على الأجسام المتحركة حتى لو كانت لها سرعة ثابتة لذا، فإن الخيار (د) غير صحيح أيضًا.



حيث استخدمنا نظرية لامي في المواقف المختلفة التي تكون فيها الكائنات في حالة توازن لذلك، يقدم لنا الخيار (ج) معلومات واضحة حول متى وأين يتم تطبيق نظرية لامي للعثور على قوى غير معروفة.



في حالة نظرية لامي يمكن اختبار ما هو صحيح بالنسبة الى القوى المطبقة في النظرية في الحالات التالية، على سبيل المثال (أ) عندما تعمل قوتان متحدتان المستوى عند نقطة في حالة توازن، فإن كل قوة تتناسب مع الجيب أو الزاوية بين القوتين الأخريين، (ب) النظرية قابلة للتطبيق على الكائنات ثلاثية الأبعاد العشوائية فقط، (ج) هناك ثلاث قوى مستوية تعمل عند نقطة في حالة توازن، وكل قوة تتناسب مع الجيب أو الزاوية بين القوتين الأخريين، (د) نظرية لامي مفيدة في تحديد مقدار واتجاه القوة المؤثرة على جسم متحرك في خط مستقيم.


بمناقشة الحالات كل على حدة، أولاً وقبل كل شيء تنطبق نظرية لامي فقط في حالة القوى المتزامنة متحد المستوى، ثانيًا ينطبق على الطائرات والأشياء ثلاثية الأبعاد، وهذا يعني أن الخيار (ب) يفشل في تلبية الشرط.


يجب أن تكون هناك ثلاث قوى متزامنة تعمل في نقطة ما، لذا فإن الخيار (أ) غير صالح، كما يذكر الخيار (د) القوة المؤثرة على جسم متحرك في خط مستقيم، وهي ليست الحالة الصحيحة لتطبيق هذه النظرية لذا، فإن الخيار (ج) الذي يذكر الشروط المطلوبة لتطبيق نظرية لامي هو الاختيار الصحيح.

ا